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第1篇：函數(shù)的表示法范文

正文:

函數(shù)連續(xù)性的概念:

函數(shù)在一點的連續(xù)性,值得注意的是函數(shù)的連續(xù)性是對一點進行定義的,引《數(shù)學分析》第四版上冊中的定義1:設(shè)函數(shù)f在某U(Xo)在有定義.若當XXo時lim f(Xo)=f(Xo),則稱f在點Xo連續(xù).該定義指出如果f(X)中X趨于Xo時的極限等于f(Xo)則函數(shù)連續(xù).在幾何表示中,則可以認為X所對應(yīng)的f(X)在Xo處是與U(Xo)對應(yīng)的f是相接的,不是斷點的.在此我們可以發(fā)現(xiàn):1.函數(shù)在Xo處連續(xù)與函數(shù)在Xo處的極限有密切關(guān)系,f在點Xo有極限是f在Xo處連續(xù)的必要條件,從幾何圖示上可以清楚看到函數(shù)在X趨于Xo無極限,則f(Xo)與函數(shù)在X趨于Xo的值不可能相交,因此不可能連續(xù).2.函數(shù)在Xo處連續(xù)的第二個條件是函數(shù)在X趨于Xo對應(yīng)的左右f(X)極限必須相等,在幾何上反應(yīng)的是過(Xo,f(Xo))是一條連續(xù)的曲線,至于是怎么一個形狀的曲線,只要無中間斷點即可.

間斷點及其分類:

有了函數(shù)f在某對應(yīng)Xo處的定義則不滿足連續(xù)定義的點都可以算是間斷的,稱為間斷點或者不連續(xù)點.主意此處的間斷點可以分為兩種1.可去間斷點2.跳躍間斷點.具體定義可以參照《數(shù)學分析》第四版上冊P73.在此我要談?wù)劦氖菐缀伪硎?1.可去間斷點在幾何中表示為兩種形式①Xo這個點在f上無定義,因此無實際圖像,而當XXo時的lim f(X)=A,幾何表示為一條曲線上擦去了某一個點②Xo對應(yīng)在f上有定義,但f(Xo)與當XXo時的lim f(X)不相等,在幾何上可以表示成一條曲線上的某一點上下平移到另一位置.總之可去間斷點要求的是一條曲線上某一點的變化.2.跳躍間斷點,跳躍間斷點表示的則是一條曲線在某一處剪短,把其中的半條曲線上下平移,圖像上直觀觀測為階梯狀.

連續(xù)函數(shù)的性質(zhì):

連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)可分為局部性質(zhì),閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)的基本性質(zhì),反函數(shù)的連續(xù)性和一致連續(xù)性等幾個方面.其中我在談?wù)劦氖情]區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的基本性質(zhì)與一致連續(xù)性的意義和幾何表示.

首先說閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的基本性質(zhì),f為閉區(qū)間[a,b]上的連續(xù)函數(shù),則f在此閉區(qū)間上有最大值與最小值,則f在閉區(qū)間[a,b]上存在上確界與下確界.因此在幾何表示上,這條f圖像可以用一個矩形框框起來,矩形框的上下邊則是上下界.利用這個方法可以清晰的理解為什么f在閉區(qū)間上連續(xù)就有最大最小值了.

其次要說說介值性定理, 參照《數(shù)學分析》第四版上冊P79中的4.7:設(shè)函數(shù)f在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù),且f(a)≠f(b).若ч為介于f(a)與f(b)之間的任何實數(shù),則至少存在一點Xo屬于(a,b)使得f(Xo)=ч,對于這個定理可以擴大為f max與f min之間的任何數(shù)ч都可以找到一點Xo屬于(a,b) 使得f(Xo)=ч,這便擴大了定義的使用范圍.而介值定理在運用過程中大多演化為了他的推論(根的存在定理)也就是零點定理,用幾何圖示能清楚看到如果f(a)與f(b)異號,因為f為連續(xù)函數(shù)那么必定與X軸有交點,而交點則為零點.

最重要的則是一致連續(xù)性,首先要明確的是一致連續(xù)性是對于區(qū)間來定義的,再參照《數(shù)學分析》四版上冊P81定義2:設(shè)f為定義在區(qū)間I上的函數(shù),若對于任意ε>0,存在δ=δ(ε)>0,使得對任何X,Y只要|X-Y|

函數(shù)連續(xù)與一致連續(xù)是有重大區(qū)別的,這兩個概念的著眼點不同,連續(xù)性是局部性質(zhì),一般只對單點討論,討論改點在的左右極限問題,說函數(shù)在一個集合上連續(xù)也只不過是逐點連續(xù)。一致連續(xù)性是整體性質(zhì),要對定義域上的某個子集(比如區(qū)間)來討論,函數(shù)一致連續(xù)說明函數(shù)是在某個規(guī)定區(qū)間內(nèi)連續(xù)的。一致連續(xù)可以推出連續(xù),反之不然。當區(qū)間有界時,一致連續(xù)函數(shù)幾何圖像此時在無界的一邊不能無限傾斜.當區(qū)間有界時,若有一部分是開區(qū)間,如果可以確定這點對應(yīng)的f存在極限,那么還是一致連續(xù)的.

下面談?wù)労瘮?shù)f在X屬于(a,b)與X屬于[a,b]的區(qū)別f在X屬于(a,b)上連續(xù)不能推出f在[a,b]上連續(xù),在幾何表示中f在X屬于(a,b)上連續(xù)可以畫圖為tanx的類似形狀,此時不是在X屬于(0,π/2)不是一致連續(xù)的,原因是f(π/2)的極限為無窮大.不符合一致連續(xù)的定義,此時也不能用一個矩形框來把整個圖像框起來,而在X屬于(0,π/3)上就是一致連續(xù)的了,因為此時的圖像可以用一個矩形框框起來,也符合書本給與的定義.

參考文獻:

第2篇：函數(shù)的表示法范文

關(guān)鍵詞：概念形成 函數(shù)表示法 辯證思維

概念是一種思維形式。函數(shù)是數(shù)學中最主要的概念之一，函數(shù)理論是高等數(shù)學的主要組成部分，是近代科學技術(shù)不可缺少的工具。由于自然界的一切事物總是在不停地運動、變化著，因此數(shù)學中也必須研究變量和變量間的相互關(guān)系。函數(shù)就是應(yīng)此而產(chǎn)生的數(shù)學概念。中學階段，學生學習函數(shù)及其圖像、集合的簡單知識，從而通過集合元素的對應(yīng)關(guān)系來加深對函數(shù)概念的理解；在此基礎(chǔ)上，引入函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性；進而借助于單調(diào)函數(shù)及其圖像的學習，又從單值對應(yīng)引出一一對應(yīng)，從一一對應(yīng)引出逆對應(yīng)；同時由逆對應(yīng)引出反函數(shù)的概念。這對于培養(yǎng)學生的辯證思維能力和進一步學習高等數(shù)學，起到很大的作用。

函數(shù)概念的教學目的是：（一）要求學生對函數(shù)概念有正確清晰的認識；（二）要求學生熟練掌握函數(shù)的表示法；（三）通過函數(shù)概念教學，培養(yǎng)學生辨證思維方面的能力。下面談?wù)劚救说囊稽c粗淺認識。

一、函數(shù)概念的形成

函數(shù)的實例：在客觀世界中，事物的種類繁多，現(xiàn)象的形態(tài)各異，它們都按照各自的固有規(guī)律運動變化著。某一事物或現(xiàn)象的運動變化總表現(xiàn)為多個不同量的變化，而這些量的變化又不是孤立的，它們常常是按照該事物固有的規(guī)律互相聯(lián)系、對應(yīng)著，即給定某量的一個值，依照規(guī)律都對應(yīng)另一個量的唯一一個值。粗略地說，“兩個量（或兩個數(shù)）之間的對應(yīng)規(guī)律”就是數(shù)學中所說的“函數(shù)”。函數(shù)概念產(chǎn)生于在同一個研究過程里變量間的相互關(guān)系之中，因此，建立函數(shù)概念必須以研究常量和變量作為起點。例如，把一個密閉容器內(nèi)的氣體加熱時，氣體的體積和氣體的分子數(shù)保持一定，所以是常量；而氣體的溫度與壓力則是變量。一個量是常量還是變量，要根據(jù)具體問題具體條件來分析，而且要辨證地看問題，這一點，教學時應(yīng)提出注意。例如，火車行駛時的速度，在開始階段或剎車階段是變化的，因而在該過程中是變量；在正常行駛階段變化很小，相對地可看作不變，因而是常量。

在同一個確定的過程中，往往會同時出現(xiàn)幾個變量。例如，一個物體作自由落體運動的過程中，重力加速度（g）是常量，物體經(jīng)過的路程（s）與時間（t）是兩個變量，而且這兩個變量不是孤立無關(guān)的，而是緊密聯(lián)系的：物體運動的時間變了，其相應(yīng)的路程也隨之而變；當確定了物體經(jīng)過的時間后，相應(yīng)的路程也隨之而確定，它們間符合的關(guān)系。變量s和t之間存在著這種相依關(guān)系的確定性，這樣就稱s和t構(gòu)成了函數(shù)關(guān)系。其中t叫自變量，s叫自變量t的函數(shù)。由此可總結(jié)出，在某個研究過程中，存在函數(shù)關(guān)系的三條標準：（一）是否存在兩個變量（技校教材只限于一元函數(shù)）；（二）當一個變量變化時，另一個變量是否也隨之而變化；（三）當一個變量取確定值時，另一個變量是否也隨之取得唯一的確定值。

在許多問題中，自變量的允許取值范圍是有一定限制的，我們把自變量允許取值的范圍叫做函數(shù)的定義域。從數(shù)學角度看，要使表示函數(shù)關(guān)系的解析式有意義，自變量是需要有一定條件的；從應(yīng)用問題的實際內(nèi)容看，變量允許取值的范圍也是有一定限制的。這就是確定函數(shù)定義域的根據(jù)。求函數(shù)的定義域可參考以下幾個準則：

（1） 若f（x）是整式，則f（x）的定義域是全體實數(shù)的集合R；

（2） 若f（x）是分式，則分式的分母應(yīng)該不為零；

（3） 若給出式子 （k為正整數(shù)），則應(yīng)有f（x）≥0；

（4） 若給出式子log ，則應(yīng)有f（x）＞0；

（5） 若給出式子arcsin f（x）、arccos f（x），則應(yīng)有｜f（x）｜≤1；

（6） 若上述情況同時出現(xiàn)，可分別找出它們的定義域，取公共部分為所求的定義域。

函數(shù)值以及記號f（x）是函數(shù)概念教學的重點，學生開始學習函數(shù)時，往往不容易理解f（x）和f（a）的意義，有的認為f（x）是x的一次函數(shù)，f（ ）是x的二次函數(shù)，這說明對記號f（x）的教學不能忽視。

在函數(shù)概念的教學中可以指出，函數(shù)符號f（x）按其實質(zhì)來說就是指對應(yīng)法則，例如 f（x）=3x + x－1，那么對應(yīng)法則f就是指這個式子中所給的一系列運算，而f（x）就是指下面括號中自變量的某一數(shù)值應(yīng)作3（ ） +（）－1這樣的一系列的運算以求函數(shù)值。因此當x=1時有f（1）=3（1） +（1）－1=3 。

一般來說，記號f（a）代表一個數(shù)，它等于函數(shù)f（x）在變數(shù)值等于a時的值。用幾何術(shù)語說：f（a）是函數(shù)f（x）在a點的值。如果a不屬于定義域，則f（a）就無意義了。

二、函數(shù)的表示法

通過對函數(shù)各種表示法的學習，可以加深對函數(shù)概念的理解。用公式或分析表達式直接給出自變量與因變量之間的關(guān)系是函數(shù)的分析表示法，在自然科學或?qū)嶋H問題中是經(jīng)常遇到的，在微積分中，這種表示法也便于進行運算。

但是要防止學生產(chǎn)生函數(shù)關(guān)系一定能用公式表示的誤解。許多生產(chǎn)過程和科研實踐中，由觀察得到的一系列變量間對應(yīng)的數(shù)據(jù)，不見得都能概括成這兩個變量間確定的解析表達式，但它們之間應(yīng)該說構(gòu)成函數(shù)關(guān)系，這種函數(shù)關(guān)系可用列表法來表示。通常用的各種數(shù)學用表，有的寫不出一般表達式（例如質(zhì)數(shù)），有的寫出了表達式（例y=logx），但也不能揭示由x經(jīng)過怎樣的代數(shù)運算步驟而得到y(tǒng)。采用列表法，就可彌補上述的不足。

公式法和列表法都可以表示函數(shù)關(guān)系，但它們都存在著表示因變量隨自變量的變化而變化的趨勢的直觀性差的缺點。而函數(shù)的圖示法具有直觀性、明顯性，并且便于研究函數(shù)的幾何性質(zhì)。

在講授圖示法表示函數(shù)關(guān)系時，應(yīng)注意：

（一）函數(shù)圖像存在的范圍是以函數(shù)定義域為依據(jù)的。

例1作函數(shù) 的圖像。

解： 定義域:是（-∞，+∞），

其圖像為（圖1）

例2作出函數(shù)y=x（其中x取整數(shù)）的圖像（圖2）。

（二）作函數(shù)圖像時，應(yīng)把列出的點用平滑的曲線連結(jié)起來，而不能畫成折線。為此可舉函數(shù) 的圖像為例，先畫幾個點，連結(jié)成折線，再補進幾個點，讓學生看這些點并不在折線上，從而指出畫成折線是不對的。

在函數(shù)概念教學中，應(yīng)注意挖掘教學內(nèi)容中的教育因素，注意在教學過程中滲透一些辯證唯物主義的思想，這樣，不僅有利于學生學好數(shù)學基礎(chǔ)知識，也有助于對學生進行辯證唯物主義的教育。例如，常量和變量的相對性實際上蘊含著矛盾的對立統(tǒng)一這一法則；研究存在某種相依關(guān)系的兩個變量的過程，就是用運動、聯(lián)系的觀點來研究數(shù)學內(nèi)容……教師如能把觀點蘊含于內(nèi)容之中，通過內(nèi)容滲透觀點，就會使函數(shù)概念的教學效果有所提高。

參考文獻：

［1］劉玉璉，傅沛仁.數(shù)學分析講義（上冊）――函數(shù).北京：高等教育出版社，1992.

［2］齊建華.現(xiàn)代數(shù)學教育――數(shù)學學習論.鄭州：大象出版社，2001.

第3篇：函數(shù)的表示法范文

教材直接解答如下：

解：過水池的中心任意選取一個截面，如圖所示，由物理學知識可知，噴出的水注軌跡是拋物線型，建立如圖所示的直角坐標系，由已知條件知，水柱上任意一個點距中心的水平距離 與此點的高度 之間的函數(shù)關(guān)系是

所以裝飾物的高度為103m。這是一個應(yīng)用性極強的函數(shù)解析式與函數(shù)圖像互化的一個應(yīng)用問題，高一的學生大部分對這種應(yīng)用問題，尤其是抽象函數(shù)的圖像再通過圖像來擬合函數(shù)解析式，通過解析式來解決實際問題的問題。學生首先是感覺特別抽象，其次是感覺特別牽強。經(jīng)過本人長期的教學研究發(fā)現(xiàn)，如果教師不注重這種問題的降階處理，學生在學習過程中感覺知識的形成過程特別生硬并無法理解，無形的給學生造成學習障礙及學習壓力，并且這種學習障礙多了以后會挫傷學生的學習積極性，給學生的數(shù)學學習造成負面影響。

結(jié)合本人近年來的教學實際及對教材的深刻研究，本人是這樣處理的，在引領(lǐng)學生學習完函數(shù)的三種表示法后，插入一節(jié)《函數(shù)的解析表示法與函數(shù)的圖像表示法互化》的習題課。通過回憶初中學習的正比例、反比例、一次函數(shù)、二次函數(shù)的圖像實際例子，再來求函數(shù)的解析式等問題，搭建學生認知階梯，如本人在我校B層次班教學中設(shè)計了如下問題。

例 畫出函數(shù)y=x2-2|x|的圖像。

先板演引領(lǐng)學生分析完成

（1）列表

（2）描點，（3）連線：如下圖

另外?？梢酝ㄟ^初中學習的二次函數(shù)圖像的畫法畫出y=x2+2 ； 與y=x2-2x；的圖像在定義域上截取得到，找對稱軸x=-22=-1，找頂點（-1，-1），交點（0，0），（-2，0）定開口（向上）得到左邊的圖像，同理得到右邊的圖像，在本人引領(lǐng)學生做完圖像后，在黑板上擦掉前面的函數(shù)解析式及所列表格，只剩下圖像。

師：同學們，你們能夠根據(jù)左邊的函數(shù)圖像寫出函數(shù)的解析式嗎？

生：能，y=x2-2|x|；

師：（又重新將剛才學生寫出的解析式寫在黑板上）

師：那么，現(xiàn)在要是請你們說出是怎樣求出函數(shù)的解析式，能嗎？

（學生陷入了一片沉思，有學生講是二次函數(shù)？）

師：是二次函數(shù)嗎？那么又怎么求這函數(shù)的解析式呢？

生1：先設(shè)f（x）=ax2+bx+c；（因為他們比較熟悉二次函數(shù)的一般表示式）

師：根據(jù)你們的假設(shè)求解一下解析式試試；同學們迅速算出了a=1；b=2；c=0或a=1；b=-2；c=0；

師：還有其他的解決方式嗎？

生2：二次函數(shù)的表示式還有頂點式、兩點式；

那么現(xiàn)在要你來選擇求解這個問題的方式，你喜歡選擇那一種表達方式呢？你選擇試試看：

有學生選擇頂點式，因為

當x≥0；知道頂點是（1，-1），圖像過（2，0）解得y=x2-2x；

當x≤0；知道頂點是（-1，-1），圖像過（-2，0）解得y=x2+2x；

有學生選擇兩點式，因為

結(jié)合以上學生學習的經(jīng)驗，我在處理課本例題，21世紀游樂園要建造一個直徑為20m的圓形噴水池。計劃在噴水池的周邊靠近水面的位置安裝一圈噴水頭，使噴出的水注在離池中心4處達到最高，高度為6，另外還要在噴水池的中心設(shè)計一個裝飾物。使各個方向噴來的水柱在此匯合，這個裝飾物的高度如何設(shè)計？

時是這樣做的。先閱讀題目分析由物理學知識知道是拋物線，選取一個縱截面得出圖形。

第4篇：函數(shù)的表示法范文

一、新課導入――習題設(shè)計要以學情為重點

高中數(shù)學知識前后章節(jié)有著密切的聯(lián)系，在新課導入時，教師應(yīng)設(shè)計適當?shù)牧曨}，引導學生進行溫故知新。這樣的習題應(yīng)以教材為中心，承上啟下，淺顯易答，以不斷增強學生的學習信心。

例如，在講解“函數(shù)的表示法”一節(jié)時，初中已經(jīng)接觸過函數(shù)的三種表示法：解析法、列表法和圖像法。高中階段重點是讓學生在了解三種表示法各自優(yōu)點的基礎(chǔ)上，使學生會根據(jù)實際情境的需要選擇恰當?shù)谋硎痉椒?。因此，在導課環(huán)節(jié)，教師可設(shè)計一些作業(yè)讓學生在比較、選擇函數(shù)模型表示方式的過程中，加深對函數(shù)概念的整體理解，而不再誤以為函數(shù)都是可以寫出解析式的。

課堂練習：

某種筆記本的單價是5元，買x（x∈{1，2，3，4，5}）本筆記本需要y元。試用函數(shù)的三種表示法表示函數(shù)y=f（x）。

（設(shè)計意圖：進一步讓學生感受到，函數(shù)概念中的對應(yīng)關(guān)系、定義域、值域是一個整體.函數(shù)y=5x不同于函數(shù)y=5x （x∈{1，2，3，4，5}），前者的圖像是（連續(xù)的）直線，而后者是5個離散的點。由此認識到：“函數(shù)圖像既可以是連續(xù)的曲線，也可以是直線、折線、離散的點，等等。”）

二、課內(nèi)自學――習題設(shè)計要以教材為中心

在設(shè)定教學目標的基礎(chǔ)之上，教師可引導學生開展課內(nèi)自學，為配合學生的學習效果，教師可嘗試讓學生主動的解決一些問題。這些問題應(yīng)以教材為中心，以教材內(nèi)的例題或習題為重點，也可適當拓展變換條件，體現(xiàn)基礎(chǔ)性與思想性。

例如，在講解“向量的加法與減法”一節(jié)時，為了能引導學生準確理解向量的有關(guān)的概念，靈活地應(yīng)用向量加法的運算律解決較簡單的實際問題，筆者設(shè)計了如下習題：

例1.已知向量a、b，則在下列命題中，正確的是（ ）

（A） 若|a|>|b|，則a>b；

（B）若|a|=|b|，則a=b；

（C）若a=b，則a∥b；

（D）若a≠b，則a與b一定不共線；

例2.在ABCD中，=（ ）

三、交流反饋――習題設(shè)計要以易錯題為主

通過學生自學，對教師呈現(xiàn)的問題進行解決交流，中下游學生講解、分析，優(yōu)生點評、拓展，學會把問題理解透徹。學生交流評價時，其他學生暴露的問題是矯正補救的核心，也是教學的關(guān)鍵，教師要在此基礎(chǔ)上設(shè)計一些較為淺顯的易錯題，以突出教學重點、難點。

如在講解“不等式及其性質(zhì)”一節(jié)時，有的學生存在對充分不必要條件的概念理解不清或不等式的轉(zhuǎn)化考慮不全等問題，容易解題出錯，因此筆者設(shè)計了如下習題供學生討論。

1.設(shè)則使成立的充分不必要條件是：

部分學生錯選B，對充分不必要條件的概念理解不清，“或”與“且”概念不清，正確答案為D。

2.不等式的解集是：

部分學生錯選B，不等式的等價轉(zhuǎn)化出現(xiàn)錯誤，沒考慮x=-2的情形。正確答案為D。

四、課內(nèi)探究――習題設(shè)計要以實踐為主體

教師在充分理解科學探究的目標內(nèi)容的前提下，組織好學生進行探究，重視開發(fā)學生的智力，發(fā)展學生的創(chuàng)造性思維。教師的角色應(yīng)該是課堂探究的組織者與實施者，要以作業(yè)為載體，調(diào)動學生學習數(shù)學的積極性與主動性。

數(shù)學中的基本概念和規(guī)律既是探究教學的起點和基礎(chǔ)，又是探究的對象。在教與學中，教師如果在基本概念和規(guī)律的學習過程中滲透探究思想，就會使學生加深對概念和規(guī)律的理解與掌握。例如，在進行橢圓概念的教學，可分以下幾個步驟進行：

（1）實驗――要求學生用事先準備的兩個小圖釘和一根長度為定長的細線，將細線的兩端固定，用鉛筆把細線拉緊，使筆尖在紙上慢慢移動，所得圖形為橢圓。

（2）提出問題，思考討論。

①橢圓上的點有何特點？

②當細線的長等于兩定點之間的距離時，其軌跡是什么？

③當細線的長小于兩定點之間的距離時，其軌跡是什么？

④你能給橢圓下一個定義嗎？

（3）揭示本質(zhì)，給出定義。通過上述的自主探究活動，使學生體驗從生活實例中，抽象出數(shù)學概念的方法，進一步探究它們之間具有的內(nèi)在聯(lián)系和各自特征，完成了對新知識的主動建構(gòu)過程。

五、達標檢測――習題設(shè)計以查缺補漏為主

第5篇：函數(shù)的表示法范文

【關(guān)鍵詞】拋物線型；函數(shù)解析式；函數(shù)圖像；深刻研究

本人在教授人民教育出版社全日制普通高中教科書（必修）數(shù)學第一冊上第二章《函數(shù)的表示方法》課本例題3時遇到學生無法理解的牽強尷尬境地。例題如下：21世紀游樂園要建造一個直徑為20m的圓形噴水池。計劃在噴水池的周邊靠近水面的位置安裝一圈噴水頭，使噴出的水注在離池中心4m處達到最高，高度為6m，另外還要在噴水池的中心設(shè)計一個裝飾物。使各個方向噴來的水柱在此匯合，這個裝飾物的高度如何設(shè)計？

教材直接解答如下：

解：過水池的中心任意選取一個截面，如圖所示，由物理學知識可知，噴出的水注軌跡是拋物線型，建立如圖所示的直角坐標系，由已知條件知，水柱上任意一個點距中心的水平距離 與此點的高度 之間的函數(shù)關(guān)系是

所以裝飾物的高度為103m。這是一個應(yīng)用性極強的函數(shù)解析式與函數(shù)圖像互化的一個應(yīng)用問題，高一的學生大部分對這種應(yīng)用問題，尤其是抽象函數(shù)的圖像再通過圖像來擬合函數(shù)解析式，通過解析式來解決實際問題的問題。學生首先是感覺特別抽象，其次是感覺特別牽強。經(jīng)過本人長期的教學研究發(fā)現(xiàn)，如果教師不注重這種問題的降階處理，學生在學習過程中感覺知識的形成過程特別生硬并無法理解，無形的給學生造成學習障礙及學習壓力，并且這種學習障礙多了以后會挫傷學生的學習積極性，給學生的數(shù)學學習造成負面影響。

結(jié)合本人近年來的教學實際及對教材的深刻研究，本人是這樣處理的，在引領(lǐng)學生學習完函數(shù)的三種表示法后，插入一節(jié)《函數(shù)的解析表示法與函數(shù)的圖像表示法互化》的習題課。通過回憶初中學習的正比例、反比例、一次函數(shù)、二次函數(shù)的圖像實際例子，再來求函數(shù)的解析式等問題，搭建學生認知階梯，如本人在我校B層次班教學中設(shè)計了如下問題。

例 畫出函數(shù)y=x2-2|x|的圖像。

先板演引領(lǐng)學生分析完成

（1）列表

（2）描點，（3）連線：如下圖

另外?？梢酝ㄟ^初中學習的二次函數(shù)圖像的畫法畫出y=x2+2 ； 與y=x2-2x；的圖像在定義域上截取得到，找對稱軸x=-22=-1，找頂點（-1，-1），交點（0，0），（-2，0）定開口（向上）得到左邊的圖像，同理得到右邊的圖像，在本人引領(lǐng)學生做完圖像后，在黑板上擦掉前面的函數(shù)解析式及所列表格，只剩下圖像。

師：同學們，你們能夠根據(jù)左邊的函數(shù)圖像寫出函數(shù)的解析式嗎？

生：能，y=x2-2|x|；

師：（又重新將剛才學生寫出的解析式寫在黑板上）

師：那么，現(xiàn)在要是請你們說出是怎樣求出函數(shù)的解析式，能嗎？

（學生陷入了一片沉思，有學生講是二次函數(shù)？）

師：是二次函數(shù)嗎？那么又怎么求這函數(shù)的解析式呢？

生1：先設(shè)f（x）=ax2+bx+c；（因為他們比較熟悉二次函數(shù)的一般表示式）

師：根據(jù)你們的假設(shè)求解一下解析式試試；同學們迅速算出了a=1；b=2；c=0或a=1；b=-2；c=0；

師：還有其他的解決方式嗎？

生2：二次函數(shù)的表示式還有頂點式、兩點式；

那么現(xiàn)在要你來選擇求解這個問題的方式，你喜歡選擇那一種表達方式呢？你選擇試試看：

有學生選擇頂點式，因為

當x≥0；知道頂點是（1，-1），圖像過（2，0）解得y=x2-2x；

當x≤0；知道頂點是（-1，-1），圖像過（-2，0）解得y=x2+2x；

有學生選擇兩點式，因為

結(jié)合以上學生學習的經(jīng)驗，我在處理課本例題，21世紀游樂園要建造一個直徑為20m的圓形噴水池。計劃在噴水池的周邊靠近水面的位置安裝一圈噴水頭，使噴出的水注在離池中心4處達到最高，高度為6，另外還要在噴水池的中心設(shè)計一個裝飾物。使各個方向噴來的水柱在此匯合，這個裝飾物的高度如何設(shè)計？

時是這樣做的。先閱讀題目分析由物理學知識知道是拋物線，選取一個縱截面得出圖形。

第6篇：函數(shù)的表示法范文

1、微積分、函數(shù)、極限、連續(xù)考試內(nèi)容函數(shù)的概念及表示法、函數(shù)的有界性、單調(diào)性、周期性和奇偶性、反函數(shù)、復合函數(shù)、隱函數(shù)、分段函數(shù)基本初等函數(shù)的性質(zhì)及圖形初等函數(shù)等。

2、一元函數(shù)微分學考試內(nèi)容導數(shù)的概念、函數(shù)的可導性與連續(xù)性之間的關(guān)系、導數(shù)的四則運算、基本初等函數(shù)的導數(shù)、復合函數(shù)、反函數(shù)和隱函數(shù)的導數(shù)等。

3、一元函數(shù)積分學考試內(nèi)容原函數(shù)與不定積分的概念、不定積分的基本性質(zhì)、基本積分公式、不定積分的換元等。

4、多元函數(shù)微積分學考試內(nèi)容多元函數(shù)的概念、二元函數(shù)的幾何意義、二元函數(shù)的極限與連續(xù)性、有界閉區(qū)域上二元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)偏導數(shù)的概念等。

第7篇：函數(shù)的表示法范文

1.理解等差數(shù)列的概念，掌握等差數(shù)列的通項公式，并能運用通項公式解決簡單的問題.

（1）了解公差的概念，明確一個數(shù)列是等差數(shù)列的限定條件，能根據(jù)定義判斷一個數(shù)列是等差數(shù)列，了解等差中項的概念；

（2）正確認識使用等差數(shù)列的各種表示法，能靈活運用通項公式求等差數(shù)列的首項、公差、項數(shù)、指定的項；

（3）能通過通項公式與圖像認識等差數(shù)列的性質(zhì)，能用圖像與通項公式的關(guān)系解決某些問題.

2.通過等差數(shù)列的圖像的應(yīng)用，進一步滲透數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)思想；通過等差數(shù)列通項公式的運用，滲透方程思想.

3.通過等差數(shù)列概念的歸納概括，培養(yǎng)學生的觀察、分析資料的能力，積極思維，追求新知的創(chuàng)新意識；通過對等差數(shù)列的研究，使學生明確等差數(shù)列與一般數(shù)列的內(nèi)在聯(lián)系，從而滲透特殊與一般的辯證唯物主義觀點.

關(guān)于等差數(shù)列的教學建議

（1）知識結(jié)構(gòu)

（2）重點、難點分析

①教學重點是等差數(shù)列的定義和對通項公式的認識與應(yīng)用，等差數(shù)列是特殊的數(shù)列，定義恰恰是其特殊性、也是本質(zhì)屬性的準確反映和高度概括，準確把握定義是正確認識等差數(shù)列，解決相關(guān)問題的前提條件.通項公式是項與項數(shù)的函數(shù)關(guān)系，是研究一個數(shù)列的重要工具，等差數(shù)列的通項公式的結(jié)構(gòu)與一次函數(shù)的解析式密切相關(guān)，通過函數(shù)圖象研究數(shù)列性質(zhì)成為可能.

②通過不完全歸納法得出等差數(shù)列的通項公式，所以是教學中的一個難點；另外，出現(xiàn)在一個等式中，運用方程的思想，已知三個量可以求出第四個量.由于一個公式中字母較多，學生應(yīng)用時會有一定的困難，通項公式的靈活運用是教學的有一難點.

（3）教法建議

①本節(jié)內(nèi)容分為兩課時，一節(jié)為等差數(shù)列的定義與表示法，一節(jié)為等差數(shù)列通項公式的應(yīng)用．

②等差數(shù)列定義的引出可先給出幾組等差數(shù)列，讓學生觀察、比較，概括共同規(guī)律，再由學生嘗試說出等差數(shù)列的定義，對程度差的學生可以提示定義的結(jié)構(gòu)：“……的數(shù)列叫做等差數(shù)列”，由學生把限定條件一一列舉出來，為等比數(shù)列的定義作準備．如果學生給出的定義不準確，可讓學生研究討論，用符合學生的定義但不是等差數(shù)列的數(shù)列作為反例，再由學生修改其定義，逐步完善定義．

③等差數(shù)列的定義歸納出來后，由學生舉一些等差數(shù)列的例子，以此讓學生思考確定一個等差數(shù)列的條件．

④由學生根據(jù)一般數(shù)列的表示法嘗試表示等差數(shù)列，前提條件是已知數(shù)列的首項與公差．明確指出其圖像是一條直線上的一些點，根據(jù)圖像觀察項隨項數(shù)的變化規(guī)律；再看通項公式，項可看作項數(shù)的一次型（）函數(shù)，這與其圖像的形狀相對應(yīng)．

⑤有窮等差數(shù)列的末項與通項是有區(qū)別的，數(shù)列的通項公式是數(shù)列第項與項數(shù)之間的函數(shù)關(guān)系式，有窮等差數(shù)列的項數(shù)未必是，即其末項未必是該數(shù)列的第項，在教學中一定要強調(diào)這一點．

⑥等差數(shù)列前項和的公式推導離不開等差數(shù)列的性質(zhì)，所以在本節(jié)課應(yīng)補充一些重要的性質(zhì)；另外可讓學生研究等差數(shù)列的子數(shù)列，有規(guī)律的子數(shù)列會引起學生的興趣．

⑦等差數(shù)列是現(xiàn)實生活中廣泛存在的數(shù)列的數(shù)學模型，如教材中的例題、習題等，還可讓學生去搜集，然后彼此交流，提出相關(guān)問題，自己嘗試解決，為學生提供相互學習的機會，創(chuàng)設(shè)相互研討的課堂環(huán)境．

等差數(shù)列通項公式的教學設(shè)計示例

教學目標

1.通過教與學的互動，使學生加深對等差數(shù)列通項公式的認識，能參與編擬一些簡單的問題，并解決這些問題；

2.利用通項公式求等差數(shù)列的項、項數(shù)、公差、首項，使學生進一步體會方程思想；

3.通過參與編題解題，激發(fā)學生學習的興趣.

教學重點，難點

教學重點是通項公式的認識；教學難點是對公式的靈活運用．

教學用具

實物投影儀，多媒體軟件，電腦.

教學方法

研探式.

教學過程

一.復習提問

前一節(jié)課我們學習了等差數(shù)列的概念、表示法，請同學們回憶等差數(shù)列的定義，其表示法都有哪些？

等差數(shù)列的概念是從相鄰兩項的關(guān)系加以定義的，這個關(guān)系用遞推公式來表示比較簡單，但我們要圍繞通項公式作進一步的理解與應(yīng)用.

二.主體設(shè)計

通項公式反映了項與項數(shù)之間的函數(shù)關(guān)系，當?shù)炔顢?shù)列的首項與公差確定后，數(shù)列的每一項便確定了，可以求指定的項（即已知求）.找學生試舉一例如：“已知等差數(shù)列中，首項，公差，求.”這是通項公式的簡單應(yīng)用，由學生解答后，要求每個學生出一些運用等差數(shù)列通項公式的題目，包括正用、反用與變用，簡單、復雜，定量、定性的均可，教師巡視將好題搜集起來，分類投影在屏幕上.

1.方程思想的運用

（1）已知等差數(shù)列中，首項，公差，則－397是該數(shù)列的第______項.

（2）已知等差數(shù)列中，首項，則公差

（3）已知等差數(shù)列中，公差，則首項

這一類問題先由學生解決，之后教師點評，四個量，在一個等式中，運用方程的思想方法，已知其中三個量的值，可以求得第四個量.

2.基本量方法的使用

（1）已知等差數(shù)列中，，求的值.

（2）已知等差數(shù)列中，，求.

若學生的題目只有這兩種類型，教師可以小結(jié)（最好請出題者、解題者概括）：因為已知條件可以化為關(guān)于和的二元方程組，所以這些等差數(shù)列是確定的，由和寫出通項公式，便可歸結(jié)為前一類問題.解決這類問題只需把兩個條件（等式）化為關(guān)于和的二元方程組，以求得和，和稱作基本量.

教師提出新的問題，已知等差數(shù)列的一個條件（等式），能否確定一個等差數(shù)列？學生回答后，教師再啟發(fā)，由這一個條件可得到關(guān)于和的二元方程，這是一個和的制約關(guān)系，從這個關(guān)系可以得到什么結(jié)論？舉例說明（例題可由學生或教師給出，視具體情況而定）.

如：已知等差數(shù)列中，…

由條件可得即，可知，這是比較顯然的，與之相關(guān)的還能有什么結(jié)論？若學生答不出可提示，一定得某一項的值么？能否與兩項有關(guān)？多項有關(guān)？由學生發(fā)現(xiàn)規(guī)律，完善問題

（3）已知等差數(shù)列中，求；；；；….

類似的還有

（4）已知等差數(shù)列中，求的值.

以上屬于對數(shù)列的項進行定量的研究，有無定性的判斷？引出

3.研究等差數(shù)列的單調(diào)性

，考察隨項數(shù)的變化規(guī)律.著重考慮的情況.此時是的一次函數(shù)，其單調(diào)性取決于的符號，由學生敘述結(jié)果.這個結(jié)果與考察相鄰兩項的差所得結(jié)果是一致的.

4.研究項的符號

這是為研究等差數(shù)列前項和的最值所做的準備工作.可配備的題目如

（1）已知數(shù)列的通項公式為，問數(shù)列從第幾項開始小于0？

（2）等差數(shù)列從第________項起以后每項均為負數(shù).

三.小結(jié)

1.用方程思想認識等差數(shù)列通項公式；

2.用函數(shù)思想解決等差數(shù)列問題.

四.板書設(shè)計

等差數(shù)列通項公式1.方程思想的運用

2.基本量方法的使用

第8篇：函數(shù)的表示法范文

片段一：模式的概括

例如圖1，拋物線y=-x2向上移動，與y軸交于點A，與x軸交于B，C兩點，若ABC為等腰直角三角形，求移動后的拋物線的解析式.變式1：ABC為等邊三角形，求移動后的拋物線的解析式.

設(shè)計意圖：利用簡單而常見的函數(shù)、圖形為題材，讓學生感覺熟悉又有親切感，但綜合在一起，難度驟然加大.通過變式，讓學生覺得圖形的形狀、位置雖然變了，但題目的模式并未發(fā)生變化，體會到找到解決此類問題的一般方法才是問題解決的關(guān)鍵，進而體會到解題方法的重要性.

上課開始時老師展示例題，并讓學生先嘗試性地做幾分鐘.46名同學中僅有7名同學做對，其中有5名學生是用特殊值湊出來的.然后老師變式：（如變式1）將ABC變?yōu)榈冗吶切?師：題目簡簡單單，但又覺得難，原因在于方法的缺失.師：先把題中的條件按數(shù)學形式分分類.經(jīng)學生七嘴八舌，老師點撥、概括，題中條件可分為函數(shù)類條件（y=-x2等）和圖形形狀類條件（等腰直角三角形、等邊三角形）.師：對此類問題能否用一個簡單的模式進行概括？經(jīng)老師引導，學生熱烈的討論，大家形成一個共識，用下列模式：函數(shù)―圖形形狀.

片段二：“題眼”的提煉

師：剛才我們只是對題型進行了分析與討論，解題的方法和思路還不清楚.生：老師，我覺得剛才這個模式中，在函數(shù)和圖形之間肯定有一種聯(lián)系的要點或方法.師：有道理，在函數(shù)和圖形間需要一條紐帶，學生表示認可.師：那么聯(lián)結(jié)這條紐帶的最主要因素是什么？學生討論激烈.生：這條紐帶應(yīng)該是點的坐標.因為題中ABC的三個頂點既是三角形的頂點，又是函數(shù)圖像上的點.老師加以肯定，并分析點的坐標就如這個模式的眼睛，這條通道的窗口.然后對模式又做了一次修改補充.

片段三：點的表示法的探求

師：如何打開這個突破口呢？生：把點的坐標求出來.師：能否直接求出點的坐標？生：不能！師：怎么辦？學生又一次激烈的討論.生：用未知數(shù)把點的坐標表示出來.師：對.今天我們解這類問題的最關(guān)鍵之處就是怎樣表示這些點的坐標.師：如果單考慮函數(shù)條件，如圖1，拋開ABC為等腰直角三角形這一條件，A，B，C的坐標可以怎樣表示？生：可設(shè)A的坐標為（0，m），拋物線的解析式y(tǒng)=-x2+m，B，C又是拋物線與x軸的交點，通過代入A的坐標（0，m）得0=-x2+m， x=±m(xù)，所以B，C的坐標分別可表示為（-m，0），（m，0）.師：接下來你能求出m的值嗎？生：可以求的，因為ABC為等腰直角三角形，且AOBC，所以O(shè)A=OB=OC，可得m=±m(xù)，解出來m1=1或0，0舍去，所以m=1.師：做得很好，完全正確.反之是否可行呢？即：單考慮幾何條件，拋開A，B，C都是y=-x2上的點這一條件，A，B，C的點又怎么表示？生：設(shè)A的坐標為（0，m），因為ABC是等腰直角三角形，且AOBC，所以O(shè)A=OB=OC，所以B的坐標為（-m，0），C的坐標為（m，0）.師：怎么求？生：因為移動后的拋物線的解析式為y=-x2+m，把B（-m，0）代入解析式得0=-m2+m，解之得m1=1，m2=0（舍去）.師：剛才大家能順利解題是因為找到了解題的突破口，抓住了“怎樣表示點的坐標”這一關(guān)鍵.接下來我們把剛才兩種解法進行對比，對點的表示方法作進一步的概括，對解題模式再作提煉.經(jīng)過師生互動和深入討論，對點的表示法概括出兩點：（1）數(shù)設(shè)形代法.數(shù)設(shè)：通過函數(shù)、坐標系等代數(shù)條件，表示出點的坐標.如：A，B，C分別為拋物線的頂點、與兩軸的交點，由此A，B，C三點的坐標分別可表示為A（0，m），B（-m，0），C（m，0）.形代：然后把點的坐標代入反映形的關(guān)系式中.如：OA=OB=OC，得m=±m(xù).（2）形設(shè)數(shù)代法.形設(shè)：通過形的關(guān)系式表示出點的坐標.如可由關(guān)系式OA=OB=OC反映ABC是等腰直角三角形的形狀，進而設(shè)出A（0，m），B（-m，0），C（m，0）.數(shù)代：再把A，B，C三點坐標代入反映數(shù)的關(guān)系式.如拋物線的解析式y(tǒng)=-x2+m，得0=-（±m(xù)）2+m.最后又把解題模式進行了完善.

第9篇：函數(shù)的表示法范文

重點：掌握映射的概念、函數(shù)的概念，掌握分段函數(shù)的概念，會求函數(shù)的定義域，掌握函數(shù)的三種表示法――圖象法、列表法、解析法，會求函數(shù)的解析式.

難點：函數(shù)的概念，求函數(shù)的解析式.

1. 理解映射的概念，應(yīng)注意以下幾點

（1）集合A，B及對應(yīng)法則“f ”是確定的，是一個整體系統(tǒng).

（2）對應(yīng)法則有“方向性”，即強調(diào)從集合A到集合B的對應(yīng)，這與從集合B到集合A的對應(yīng)關(guān)系一般是不同的.

（3）集合A中的每一個元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的，這是映射區(qū)別于一般對應(yīng)關(guān)系的本質(zhì)特征.

（4）集合A中的不同元素，在集合B中對應(yīng)的象可以是同一個.

（5）不要求集合B中的每一個元素在集合A中都有原象.

2. 理解函數(shù)的概念，應(yīng)注意以下幾點

（1）函數(shù)是從非空數(shù)集A到非空數(shù)集B的映射關(guān)系.

（2）數(shù)集A是函數(shù)的定義域，函數(shù)的值域是數(shù)集B的子集.

3. 求函數(shù)定義域的基本思路

如果沒有標明定義域，則認為定義域為使得函數(shù)解析式有意義的x的取值范圍，實際操作時要注意以下幾點：

（1）分母不能為0.

（2）對數(shù)的真數(shù)必須為正.

（3）偶次根式中被開方數(shù)應(yīng)為非負數(shù).

（4）零指數(shù)冪中，底數(shù)不等于0.

（5）負分數(shù)指數(shù)冪中，底數(shù)應(yīng)大于0.

（6）若解析式由幾個部分組成，則定義域為各個部分相應(yīng)集合的交集.

（7）如果涉及實際問題，還應(yīng)使得實際問題有意義.

如求復合函數(shù)的定義域，已知函數(shù)f（x）的定義域為[a，b]，則函數(shù)f[g（x）]的定義域是滿足不等式a≤g（x）≤b的x的取值范圍；一般地，若函數(shù)f[g（x）]的定義域是[a，b]，指的是x∈[a，b]，要求f（x）的定義域就是求x∈[a，b]時g（x）的值域.

注意：研究函數(shù)的有關(guān)問題時一定要注意定義域優(yōu)先原則，實際問題的定義域不要漏寫.

4. 求函數(shù)解析式的基本策略

函數(shù)的解析式是函數(shù)與自變量之間建立聯(lián)系的橋梁，許多和函數(shù)有關(guān)的問題的解決都離不開解析式，因而求解函數(shù)解析式是高考中的熱點. 解決這類問題的關(guān)鍵在于抓住函數(shù)對應(yīng)法則“f ”的本質(zhì). 下面介紹幾種求函數(shù)解析式的主要方法.

（1）湊配法：把形如f（g（x））內(nèi)的g（x）當做整體，在解析式的右端整理成只含有g(shù)（x）的形式，再把g（x）用x代替，可得f（x）的解析式.

（2）換元法：已知f（g（x）），求f（x）的解析式，一般可用換元法. 具體為：令t=g（x），再求出f（t），可得f（x）的解析式，換元后要確定新元t的取值范圍.

（3）解方程組法：若已知抽象函數(shù)的表達式，往往通過變換變量構(gòu)造一個方程，組成方程組，然后利用消元法求出f（x）的表達式.

（4）待定系數(shù)法：若已知函數(shù)的類型（如一次函數(shù)、二次函數(shù)）求解析式，首先設(shè)出函數(shù)解析式，根據(jù)已知條件代入相關(guān)值求出系數(shù).

（5）賦值法：已知一個關(guān)于x，y的抽象函數(shù)，利用特殊值去掉一個未知數(shù)y，得出關(guān)于x的函數(shù)解析式.